Energy-Time Uncertainty Relations in Quantum Measurements 2

確かにこういう関数がある事を忘れていた（超伝導の理論で出ていた）。そこで複素関数論で証明を作り直した。まず形式的に複素時刻 を使い、次の関数の性質を調べる。

これらの関数は複素平面の原点付近 で値を持つと仮定する。実際各項は物理でよく見かける形である。すると は連続であることが分かる。ここで は複素数である。

同様に も連続だと分かる。すると の1回微分も連続、つまり1回微分可能と分かる。

複素変数関数は1回微分可能なら無限回微分可能だという定理(Goursat)がある。実際2回微分は

そして原点 でのテーラー級数展開は微分可能な領域 で収束する(Taylor)。従って実数 では になる。